Тродимензионални облици: полиедри, закривљене чврсте материје и површина

Такође видети: Особине полигона

Ова страница испитује својства тродимензионалних или ’чврстих’ облика.

Дводимензионални облик има дужину и ширину. Тродимензионални чврсти облик такође има дубину. Тродимензионални облици по својој природи имају унутрашњост и спољашњост, одвојени површином. Сви физички предмети, ствари које можете додирнути, су тродимензионални.

Ова страница покрива и правостране чврсте материје које се називају полиедри, а које се темеље на полигонима, и чврсте материје са кривинама, попут глобуса, цилиндара и конуса.


Полиедри

Полиедри (или полиедри) су правострани чврсти облици. Полиедри су засновани на многоуглима, дводимензионалним равнинским облицима са правим линијама.

Погледајте нашу страницу Особине полигона за више о раду са полигонима.

Полиедри се дефинишу као да имају:

  • Равно ивице .
  • Позване равне стране лица .
  • Углови, звани темена .

Полиедри се такође често дефинишу бројем ивица, лица и темена које имају, као и да ли су им лица истог облика и величине. Попут полигона, и полиедри могу бити правилни (на основу правилних полигона) или неправилни (на основу неправилних полигона). Полиедри такође могу бити конкавни или конвексни.



Један од најосновнијих и најпознатијих полиедара је коцка. Коцка је правилни полиедар, има шест квадратних лица, 12 ивица и осам темена.


Особине основних полиедра. Правилни полиедри, призме и пирамиде.

Правилни полиедри (платонске чврсте материје)

Пет правилне чврсте материје су посебна класа полиедара, чија су сва лица идентична, с тим што је свако лице правилан полигон. Платонске чврсте материје су:

  • Тетрахедрон са четири једнакостранична лица троугла.
  • Коцка са шест четвртастих лица.
  • Октаедар са осам једнакостраничних лица троугла.
  • Додекаедар са дванаест лица петоугаоника.
  • Икосаедар са двадесет једнакостраничних лица троугла.
Погледајте горњи дијаграм за илустрацију сваког од ових правилних полиедра.

Шта је призма?

ДО призма је било који полиедар који има два одговарајући крајеви и равне странице . Ако исечете призму било где дуж њене дужине, паралелно са крајем, њен пресек је исти - на крају бисте добили две призме. Странице призме су паралелограми - четворострани облици са два пара страница једнаке дужине.



Антипризме слични су редовним призмама, њихови крајеви се подударају. Међутим, странице анти-призми чине троуглови, а не паралелограми. Антипризме могу постати врло сложене.

Шта је пирамида?

Пирамида је полиедар са а основа многоугла који се повезује са ан апек (горња тачка) са равним страницама.

Иако обично размишљамо о пирамидама са квадратном основом, попут оних које су древни Египћани градили, они у ствари могу имати било коју основу полигона, правилну или неправилну. Даље, пирамида може имати врх у директном центру основе, а Десна пирамида , или може имати врх ван центра када је Коса пирамида .

Архимедова чврста - крња коцка

Сложенији полиедри



Постоји много више врста полиедра: симетрични и асиметрични, конкавни и конвексни.

Архимедовске чврсте материје, на пример, састоје се од најмање два различита правилна полигона.

Крња коцка (као што је илустровано) је архимедовска чврста маса са 14 лица. 6 лица су правилни осмерокут, а осталих 8 правилни (једнакостранични) троуглови. Облик има 36 ивица и 24 темена (углове).


Тродимензионални облици са кривинама

Чврсти облици који укључују закривљену или округлу ивицу нису полиедри. Полиедри могу имати само равне странице.

Многи објекти око вас садржаће бар неке кривине. У геометрији су најчешће закривљене чврсте материје цилиндри, конуси, сфере и тори (множина за торус).

Уобичајени тродимензионални облици са кривинама:
Цилиндар Шишарка
Цилиндар Шишарка
Цилиндар има исти пресек од једног до другог краја. Цилиндри имају два идентична краја или круга или овалног облика. Иако слични, цилиндри нису призме јер призма има (по дефиницији) паралелограм, равне странице. Конус има кружну или овалну основу и врх (или врх). Страна конуса глатко се сужава према врху. Конус је сличан пирамиди, али се разликује по томе што конус има једну закривљену страну и кружну основу.
Сфера Торус
Сфера Торус
Кугла у облику кугле или глобуса је потпуно округли предмет. Свака тачка на површини сфере једнака је удаљеност од средишта сфере. Обликован попут прстена, гуме или крофне, правилни прстенасти тор се формира окретањем мањег круга око већег круга. Постоје и сложенији облици торија.

Површина

Наша страница на Израчунавање површине објашњава како се обрађује површина дводимензионалних облика и морате да разумете ове основе да бисте израчунали површину тродимензионалних облика.

За тродимензионалне облике говоримо површина , како би се избегла забуна.

Своје знање о површини дводимензионалних облика можете користити за израчунавање површине тродимензионалног облика, јер је свако лице или страница у ствари дводимензионални облик.

Стога обрађујете подручје сваког лица, а затим их додајете.



Као и код равних облика, површина чврстог тела изражава се у квадратним јединицама: цмдва, инчадва, мдваи тако даље. Више детаља о јединицама мере можете пронаћи на нашој страници Системи мерења .

Примери прорачуна површине

Површина коцке

Коцка

Тхе површина коцке је површина једног лица (дужина к ширина) помножена са 6, јер је свих шест лица исто.

Како је лице коцке квадрат, потребно је да извршите само једно мерење - дужина и ширина квадрата су, по дефиницији, исте.

Према томе, једно лице ове коцке је 10 × 10 цм = 100 цмдва. Помножите са 6, број лица на коцки, и открићемо да је површина ове коцке 600цмдва.

Остали правилни полиедри

Слично томе, површина осталих правилних полиедра (платонских чврстих тела) може се обрадити проналажењем површине једне странице, а затим помножењем одговора са укупним бројем страница - погледајте основни дијаграм полиедра.

Ако је површина једног петоугла који чини додекаедар 22цмдвазатим помножите ово са укупним бројем страница (12) да бисте добили одговор 264цмдва.


Пирамида

Да бисте израчунали површина стандардне пирамиде са четири једнаке троугаоне странице и квадратном основом:

Прво разрадите површину основне (квадратне) дужине × ширине.

Следеће разрадите површину једне странице (троугла). Измерите ширину дуж основе, а затим висину троугла (такође познату као коса дужина) од централне тачке на основи до врха.

Тада можете или одговор поделити са 2 да бисте добили површину једног троугла, а затим помножите са 4 да бисте добили површину све четири странице или једноставно помножите површину једног троугла са 2.

На крају додајте површину основе и странице да бисте пронашли укупну површину пирамиде.

Да бисте израчунали површина осталих врста пирамида, збројите површину основе (познату као подножје површине) и површину страница (бочно подручје), можда ће бити потребно да странице измерите појединачно.

Мрежни дијаграми

Геометријска мрежа је дводимензионални „образац“ за тродимензионални објекат. Мреже могу бити корисне приликом обраде површине тродимензионалног објекта. На доњем дијаграму можете видети како се граде основне пирамиде, ако је пирамида 'расклопљена', остаје вам мрежа.

Мреже пирамида

За више информација о мрежним дијаграмима погледајте нашу страницу 3Д облици и мреже .


Површина призме

Призма

Да бисте израчунали површина призме :

Призме имају два краја исте и равне паралелограмске странице.

Израчунај површину једног краја и помножи са 2.

За правилну призму (где су све странице исте) израчунајте површину једне од страница и помножите са укупним бројем страница.

За неправилне призме (са различитим странама) израчунајте површину сваке стране.

Саберите своја два одговора (крајеви × странице) да бисте пронашли укупну површину призме.


Цилиндар

Површина цилиндра

Пример:
Полупречник = 5цм
Висина = 10цм

Да бисте израчунали површина цилиндра корисно је размишљати о саставним деловима облика. Замислите лим са слатком кукурузом - има горњи и доњи део, оба су кругови. Ако бисте пресекли страницу по дужини и поравнали је, добили бисте правоугаоник. Због тога треба да пронађете површину два круга и правоугаоника.

Прво разрадите подручје једног од кругова.

Површина круга је полупречник π (пи) ×два.

Под претпоставком да је полупречник 5цм, површина једног од кругова је 3,14 × 5два= 78,5цмдва.

Помножите одговор са 2, јер постоје два круга 157цмдва

Површина странице цилиндра је обод круга × висина цилиндра.

Опсег је једнак полупречнику π к 2 ×. У нашем примеру, 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Измерите висину цилиндра - за овај пример висина је 10 цм. Површина странице је 31,4 × 10 = 314цмдва.

Укупну површину можемо пронаћи сабирањем површине кругова и странице:

157 + 314 = 471цмдва


Израчунати површину конуса.

Пример:
Полупречник = 5цм
Дужина косог = 10цм

Шишарка

Приликом израчунавања површина конуса треба да користите дужину ‘косог’ као и полупречник основе.

Међутим, релативно је једноставно израчунати:

Површина круга у основи конуса је, полупречник π (пи) ×два.

У овом примеру збир је 3,14 × 5два= 3,14 × 25 = 78,5цмдва

Подручје странице, коси пресек може се наћи помоћу ове формуле:

π (пи) × полупречник × дужина нагиба.

У нашем примеру збир је 3,14 × 5 × 10 = 157цмдва.

На крају додајте основну површину бочној површини да бисте добили укупну површину конуса.

78,5 + 157 = 235,5 цмдва


Израчунајте површину сфере.

Тениска лоптица:
Пречник = 2,6 инча

Сфера

Тхе површина сфере је релативно једноставно проширење формуле за површину круга.

Полупречник 4 × π ×два.

За сферу је често лакше измерити пречник - растојање преко сфере. Тада можете пронаћи полупречник који је половина пречника.

Пречник стандардне тениске лопте је 2,6 инча. Радијус је дакле 1,3 инча. За формулу нам је потребан полупречник на квадрат. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Површина тениске лопте је према томе:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 инчадва.


Израчунати површину торуса.

Пример:
Р (велики радијус) = 20 цм
р (мали радијус) = 4 цм

Торус

Да би се израчунао површина торуса треба да пронађете две вредности радијуса.

Велики или већи радијус (Р) мери се од средине рупе до средине прстена.

Мали или мањи радијус (р) мери се од средине прстена до спољне ивице.

Дијаграм приказује два приказа примера торуса и начин мерења његових радијуса (или радијуса).

Израчун за проналажење површине састоји се из два дела (по један за сваки радијус). Израчун је исти за сваки део.

Формула је: површина = (2πР) (2πр)

Да би се обрадила површина примера торуса.

(2 × π × Р) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × р) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Помножите два одговора заједно да бисте пронашли укупну површину примера торуса.

125,6 × 25,12 = 3155,072 цмдва.


Попуњавање чврстог материјала: запремина

Са тродимензионалним облицима, можда ћете морати да знате и колико запремину они имају.

Другим речима, ако бисте их напунили водом или ваздухом, колико пуњења би вам требало?

Ово је покривено на нашој страници Израчунавање запремине .

Настави до:
Израчунавање површине
3Д облици и мреже