Закривљени облици

Такође видети: Полигони

Кругови, елипсе, параболе и хиперболе

Наша страница на Полигони покрива облике рађене правим линијама, познате и као „равни облици“. Ова страница објашњава више о облицима са кривинама, посебно дводимензионалним.

Дводимензионални закривљени облици укључују кругове, елипсе, параболе и хиперболе, као и лукове, секторе и сегменте. Тродимензионални закривљени облици, укључујући сфере, цилиндре и чуњеве, покривени су на нашој страници на Тродимензионални облици .

Дводимензионални закривљени облици

Особине круга. Обим, пречник и полупречник.

Кругови

Вероватно најчешћи дводимензионални закривљени облик је круг.



Да бисте радили са круговима (и другим закривљеним облицима) у геометрији, важно је разумети кључне особине круга:

  • Права права преко центра круга је пречника .



  • Половина пречника је радијус .

  • Права око ивице круга је обим .

Било која тачка на обиму круга налази се на потпуно истој удаљености од средишта круга као и било која друга тачка на обиму.

Представљамо π (пи)


π или пи је грчко слово. У математици се користи за представљање одређене константе, која је уједно ирационалан или бесконачан број (погледајте нашу страницу на Посебни бројеви више).

π има вредност 3,142 (иако је бесконачан, ово је апроксимација његове тачне вредности).


π је важан јер се користи за израчунавање обима и површине круга.

Обим круга једнак је пречнику π к или полупречнику 2 × π × (скраћено 2πр).

Површина круга једнака је полупречнику π ×два. Ова формула се обично скраћује на πрдва

За више информација о области погледајте нашу страницу Израчунавање површине .

Сектори и сегменти

Сектори и сегменти су „кришки“ круга.



Сектори су обликовани попут кришке пице, са закривљеном ивицом и сваке равне стране исте дужине као полупречник круга, или пице, од које је изрезана. Кружне табеле се састоје од великог броја сектора који се у величини односе на податке које приказују.

Сектор може бити било које величине, међутим сектор који је у половини круга (180 °) назива се а полукруг , док се сектор са четвртином круга (90 °) назива а квадрант .

ДО сегмент је закривљени део сектора, део који остаје ако уклоните троугао из сектора. Сегменти се састоје од две линије. Тхе лук (део обима круга - видети доле) и а акорд - права линија која спаја два краја лука.

Кружите секторе укључујући полукругове (полукружнице) и квадранте (квадратске кругове). Сегменти круга, тетиве и лука.

Сектор је делић круга и стога је његова површина делић површине целог круга. Да бисте израчунали површину сектора, морате знати његов централни угао, θ и радијус.



Тада се површина сектора може израчунати помоћу следеће формуле:

πрдва× (θ ÷ 360)

Лукови

Дужина лука круга. 2πр × (θ ÷ 360)

Део обима круга назива се лук .

Да бисте израчунали дужину лука између тачака А и Б, морате знати угао у средишту између тачака А и Б. θ (тхета) је симбол који се користи за представљање овог угла подметан А и Б. У нашем примеру, користимо степене за θ, али могуће је користити и радијане.

Такође морате знати радијус (р) лука.

Како у целом кругу има 360 °, дужина лука једнака је централном углу (θ) подељеном са 360, затим помноженом обимом читавог круга (2πр).

2πр × (θ ÷ 360)

Пример:



р = 10цм, θ = 88 °, π = 3,14

Дужина лука = 2 к 3,14 к 10 к (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 = 15.07цм .

Степени или радијани?


Најчешће коришћена мерна јединица за углове су степени, али можете наићи и на прорачуне где се угао мери у радијанима. Ово је стандардна СИ јединица за мерне углове, а за више информација о радијанима погледајте нашу Увод у углове страна. За више информација о систему мерења СИ погледајте нашу страницу на Системи мерења .

2π радијана је једнако 360 °, па је формула за дужину лука када је θ у радијанима једноставно рθ.


Елипсе

Елипса је кривина на равни (или равној површини) која окружује две жаришне тачке. Права линија повучена од једне жаришне тачке до било које тачке на кривој, а затим до друге жаришне тачке има исту дужину за сваку тачку на кривој.

Елипсе су веома важне у астрономији и физици, јер свака планета има елиптичну орбиту са сунцем као једном од жаришних тачака.

Круг је специфичан облик елипсе, где су две жаришне тачке на истом месту (у центру круга). Елипсе се такође могу описати као „овалне“, али реч „овална“ је много мање прецизна у математици и једноставно значи „широко у облику јајета“.

Особине елипсе. Дијаграм укључује главну и споредну осу са теменима и тачкама фокле.

Особине елипсе:

Елипса има две главне осе и симетрична је око њих.

Дужа ос се назива главна оса ; краћа ос је мала ос .

Четири тачке у којима осе прелазе обим називају се темена (једнина темена). Две тачке на којима мања ос прелази обим називају се су-темена .

Два жаришта (или жаришта, која се понекад називају и локуси или локуси) налазе се на главној оси и на једнакој удаљености од центра.

Удаљеност од једне жаришне тачке до било које тачке на обиму и назад до друге жаришне тачке (плава испрекидана линија на нашем дијаграму) једнака је дужини између темена на главној оси.

У којој мери се елипса издужује, дефинише се њеном ексцентричност . Формула за израчунавање ексцентричности је:

Ексцентричност = удаљеност од центра до жаришне тачке
удаљеност од центра до темена на главној оси

Ексцентричност круга је нула, јер су жаришне тачке на потпуно истом месту (центру) (такође кажемо да су случајно ). Удаљеност од центра до жаришне тачке је према томе нула. Ексцентричност се повећава како елипса постаје дужа, али је увек мања од 1. Када је удаљеност од центра до жаришне тачке иста као и удаљеност од центра до темена, тада је елипса постала права линија и њен ексцентричност је једнако 1.

Површина елипсе израчунава се као π (½ к мала ос) (½ к главна оса).


Параболе, хиперболе и однос између закривљених облика

Параболе и хиперболе су више облика закривљених облика, али их је сложеније дефинисати од кругова и елипса. Они су уско повезани једни с другима и са круговима и елипсама, јер су сви конусни пресеци , односно облици који настају пресецањем конуса равном равни.

Карактеристике конусних пресека проучаване су миленијумима и биле су предмет интереса древних грчких математичара попут Еуклида и Архимеда. Дијаграм испод приказује двоструки конус, прилично попут тајмера за песак.

  • Ако раван пресеца конус под углом паралелним са основом конуса (тј. Окомито на његову вертикалну осу), тада круг се формира (горе лево).

  • Ако авион пресеца конус паралелно са страницом конуса , онда сателитска антена се формира (центар).

  • Ако авион пресеца конус под углом између ова два, тако да одржава контакт са страницама конуса на свим локацијама, тада елипса се формира (доле лево).

  • Ако се раван пресеца оба конуса под вертикалнијим углом, тада је пресек а хипербола .

Параболе и хиперболе су симетричне криве са једном осом симетрије и а темена (најнижа тачка у-облика криве).

Све параболе имају исти карактеристичан облик, без обзира колико су велике. Како се удаљавате све више и више од темена ка бесконачности, парабола се мења из облика посуде у облик укоснице, при чему се њени кракови све више приближавају паралели.

За разлику од парабола, хиперболе могу бити различитих облика , јер угао реза може широко да варира. И параболе и хиперболе су бесконачне, али кракови хиперболе никада не постају паралелни.

Цониц Сецтионс. Како се конус може исећи да би се добио круг, елипса, парабола или хипербола.

Примене конусних пресека у стварном свету


Постоји много примена конусних пресека у стварном свету.

  • Користе се у сочивима за телескопе и рефлекторима у фаровима или рефлекторима за стварање снопа светлости.
  • Сложена математика повезана са овим облицима је од виталног значаја за израчунавање орбита сателита.
  • У инжењерству, каблови на мосту Голден Гате у облику су савршених парабола, а аеропрофили у авионима засновани су на елипсама.
  • У спорту је лук праћен лоптом за фудбал, бејзбол или крикет такође парабола, па је разумевање конусних делова од виталног значаја за анализу перформанси играча - што је све важније уз новац уложен у професионални спорт.
  • Органски облик ових облика такође им омогућава употребу у уметности и архитектури. Примери укључују Цибертецтуре Егг у Мумбају, Гатеваи Арцх у Миссоурију и бројна дела вајара, попут Торкуед Еллипсес Рицхарда Серре у музеју Гуггенхеим.

Вештине које су вам потребне?

Кружнице су део основне геометрије и заиста треба да знате како да израчунате њихова основна својства.

Међутим, вероватно је мало вероватно да ћете морати да радите више него да будете свесни постојања других облика, осим ако не желите озбиљно да се бавите инжењерством, физиком или астрономијом.

С тим у вези, можда ћете схватити да цените сазнање да су удубљене кривине расхладног торња електране или светлост доле усмерене халогене лампе у облику хиперболе.

Настави до:
Израчунавање површине
Тродимензионални облици